Download e-book for kindle: Analysis 3: Integralrechnung im IRn mit Anwendungen by Otto Forster

By Otto Forster

ISBN-10: 3528072520

ISBN-13: 9783528072520

ISBN-10: 3663140814

ISBN-13: 9783663140818

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IR^n mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik appropriate sind. Der textual content wurde für die 6. Auflage grundlegend überarbeitet und die Integrationstheorie wird nun auf maßtheoretischer Grundlage aufgebaut.

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Wir bezeichnen mit J die Menge aller Paare (U€(a), x) mit U€(a) E~, cE eQ, c ~- M, derart daß fex) ~ c für alle xE U€(a). Die Menge J ist abzählbar, da ~ und eQ abzählbar sind. 2): i) ii) iii) iv) gj (x) = c gj(x) ~ c gj(x)=-M gj(x) ~ 0 für alle xE U€/2 (a), für alle xE U€ (a), für alle xEK\UE(a), xE IR n \ (K U U€(a)). für alle Es gilt dann f ~ gj und f = sup {g( Sei io,ibh, i EJ}. eine Abzählung von J und fv := suP(gio,giI' ···,gi) E CCc(lRn ). d. 2 Corollar . Eine Funktion f: IR n ->- IR U {- oo} gehört genau dann zu Jf+ (IRn), wenn f von oben halb stetig ist und es eine kompakte Menge K C IRn gibt, so daß fex) ~ 0 [Ur alle xE IRn\K.

2 } a; ~l . E(al' ... , an) ist das Bild der Einheitskugel unter der linearen Abbildung (Xl> ••• ,xn ) ~(alXl> ... ,anxn )· 53 § 5. Berechnung einiger Volumina Also gilt nach Satz 2 Vol(E(cx" ... ,cxn )) = CXICX2 ... CXnTn , wobei T n das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel ist, vgl. das vorhergehende Beispiel. f(x)}. Man zeige: Voln + 1 (K) = ff(X)dnx. 2 (Volumen von Rotationskörpern). f(X)2}. Man zeige: b Vol(K) = 1T f f(X)2dx. Z;;? I}, wobei (~ :) eine positiv-defmite Matrix ist. Man berechne das Volumen von P.

4) J J h Voln(Ch(B)) = h Vol n -1 ((l-~)B) dt = Voln -1 (B) (I-~r -1 dt o o = r h da ~ ( h ri Vol n - 1 (B), t)n-l dt = SI (I - u)n - 1 hdu = ri. h t- h o o Das Volumen eines n-dimensionalen Kegels mit Basis B und Höhe h ist also gleich dem n-ten Teil des Volumens eines Zylinders mit Basis B und Höhe h. 6) Beispiel: Volumen eines Simplex. Seien ao, ab ... , an Vektoren des IRn . 2) S(ao, ... ,an ):= { f Ajaj: Aj~O, f"A;= I}. j=O j=O Behauptung. Es gilt die Formel Vol(S(ao, ... ,an )) I = I" Idet(al -ao, ...

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by Ronald
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