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By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul intégral. On y présente d'abord l. a. définition et les propriétés de l'intégrale d'une fonction proceed d'une variable réelle. On utilise ensuite cet outil pour introduire les fonctions élémentaires usuelles de l'analyse, à savoir le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques directes et inverses et los angeles fonction gamma. On y étudie enfin l. a. représentation de ces fonctions par des séries de Taylor et des séries de Fourier. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il s'agit aussi comme son nom l'indique d'un deuxième cours d'analyse, qui feel que l'on connaît déjà les propriétés des fonctions maintains et des fonctions dérivables, telles que présentées par exemple dans le cours examine 1.

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Donn´e 0 ≤ x ≤ π, il existe donc un et un seul nombre −1 ≤ y ≤ 1 tel que arccos y = x. Les fonctions trigonom´etriques cosinus et sinus sont d´efinies pour 0 ≤ x ≤ π par les relations cos x = y , sin x = 1 − y 2 . Elles sont prolong´ees `a l’axe r´eel R tout entier en posant d’abord, pour −π < x < 0, cos x = cos(−x) , sin x = − sin(−x) et ensuite, pour n ∈ Z, cos(x + 2πn) = cos x , sin(x + 2πn) = sin x. Observons les valeurs remarquables π 1 π 3π 1 = √ , cos = 0 , cos = − √ , cos π = −1 4 2 4 2 2 cos 0 = 1 , cos et π 1 π 3π 1 = √ , sin = 1 , sin = √ , sin π = 0.

En voici un exemple. Soit N ≥ 2 un entier naturel. Alors sinN x dx = = = sinN −2 x dx − sinN −2 x dx − = sinN −2 x dx − (sinN −2 x cos x) cos x dx sinN −1 x cos x + N −1 sinN −2 x dx − sinN −2 x cos2 x dx sinN −1 x sin x dx N −1 sinN −1 x cos x − N −1 51 sinN x dx N −1 de telle sorte que sinN x dx 1 + 1 N −1 sinN −2 x dx − = sinN −1 x cos x . N −1 Autrement dit : sinN x dx = − sinN −1 x cos x N − 1 + N N sinN −2 x dx. (10) La formule de Wallis est une belle application de cette derni`ere relation.

2 Si m = n, on en tire +π cos mx cos nx dx = −π sin(m − n)x sin(m + n)x + m−n m+n 1 2 π −π =0 alors que si m = n, on obtient +π cos2 mx dx = −π 1 2 x+ sin 2mx 2m π −π = π. Les autres cas sont similaires. D. 3 Les fonctions trigonom´ etriques inverses La fonction arccosinus (figure (12)), arccos : [−1, 1] → [0, π], est d´efinie par la relation 1 1 − t2 dt + y arccos y = 2 1 − y2 y comme nous l’avons vu. Elle est continue sur [−1, 1] et d´erivable sur ]−1, 1[, avec d −1 . arccos y = dy 1 − y2 41 C’est une fonction strictement d´ecroissante et l’on a cos(arccos y) = y , y ∈ [−1, 1] et arccos(cos x) = x , x ∈ [0, π].

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Analyse 2 by Giroux A.


by Jason
4.2

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